10.6.3 Common Function Series Expansions

常见函数（e^x, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^n等）的泰勒/马克劳林级数展开及其收敛域

定义

常见函数的泰勒/马克劳林级数展开是指将常见的初等函数表示为幂级数的形式。马克劳林级数是泰勒级数在 \(x_0 = 0\) 处的特殊情况。对于函数 \(f(x)\)，其在 \(x = 0\) 处的马克劳林级数为 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)，其中 \(f^{(n)}(0)\) 表示 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处的第 \(n\) 阶导数。常见函数的级数展开包括指数函数、三角函数、对数函数和二项式函数等，每个展开式都有其特定的收敛域（即级数收敛的 \(x\) 值范围）。

核心公式

• \(["\)e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad |x| < \infty\(", "\)\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \quad |x| < \infty\(", "\)\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \quad |x| < \infty\(", "\)\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1\(", "\)(1+x)^r = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{r}{n} x^n = 1 + rx + \frac{r(r-1)}{2!}x^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3 + \cdots, \quad |x| < 1 \text{ (当 } r \text{ 不是非负整数时)}\("]\)

易错点

• ⚠️ ["混淆收敛域的端点：特别是 \(\ln(1+x)\) 在 \(x=1\) 处收敛但在 \(x=-1\) 处发散，学生常常错误地认为两个端点的收敛性相同。", "在使用级数展开进行代数运算时，忽视收敛域的限制。例如，虽然 \(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 对 \(|x|<1\) 成立，但学生可能在 \(|x| \geq 1\) 时仍然使用该展开式。", "错误地应用二项式级数的系数。对于 \((1+x)^r\)，当 \(r\) 不是非负整数时，系数涉及广义二项式系数 \(\\binom{r}{n}\)，学生常常混淆或遗漏负号和分数指数的处理。", "在求导或积分级数时，忘记调整收敛域。例如，对 \(\ln(1+x)\) 的级数进行逐项求导会改变收敛域的端点性质。"]