4.6.2 Closed Interval Method

在闭区间上求函数最值的方法，比较端点值和临界点值

定义

闭区间法（Closed Interval Method）是在闭区间 \([a,b]\) 上求函数最大值和最小值的系统方法。该方法基于极值定理，即连续函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。具体步骤为：(1) 求函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内的所有临界点（即 \(f'(x)=0\) 或 \(f'(x)\) 不存在的点）；(2) 计算函数在所有临界点处的函数值以及在两个端点 \(x=a\) 和 \(x=b\) 处的函数值；(3) 比较这些函数值的大小，其中最大的值为函数的绝对最大值（全局最大值），最小的值为函数的绝对最小值（全局最小值）。这个方法特别适用于优化问题中求解在给定约束条件下的最优解。

核心公式

• \(f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在}\)（临界点的定义）
• \(\text{绝对最大值} = \max\{f(c_1), f(c_2), \ldots, f(c_n), f(a), f(b)\}\)（其中 \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) 为所有临界点）
• \(\text{绝对最小值} = \min\{f(c_1), f(c_2), \ldots, f(c_n), f(a), f(b)\}\)
• \(f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续} \Rightarrow f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上存在最大值和最小值}\)（极值定理）
• \(\text{候选点集合} = \{x \in (a,b) : f'(x)=0 \text{ 或 } f'(x) \text{ 不存在}\} \cup \{a, b\}\)

易错点

• ⚠️ 忘记检查端点值：学生常常只比较临界点处的函数值，而忽略了端点 \(x=a\) 和 \(x=b\) 处的函数值。实际上最大值或最小值很可能出现在端点处，尤其是当函数在端点附近变化较大时。
• ⚠️ 遗漏导数不存在的点：学生通常只求解 \(f'(x)=0\) 的点，但忽视了导数不存在的点（如尖点、不可导点）也是临界点，需要一并考虑。
• ⚠️ 混淆相对极值和绝对极值：学生可能将相对（局部）极值点与绝对极值混淆。闭区间法求的是绝对极值，需要比较所有候选点的函数值，而不是仅根据二阶导数判断相对极值。
• ⚠️ 计算错误或遗漏候选点：在求解 \(f'(x)=0\) 时出现计算错误，或在列举候选点时遗漏某些临界点，导致最终答案错误。