6.3.3 Expressing Riemann Sums with Summation Notation¶

能够用求和符号表示各类黎曼和，包括分割区间、确定子区间宽度Δx和样本点的选择

定义¶

黎曼和的求和符号表示是将曲线下的面积近似为矩形面积之和的过程。具体地，对于函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的黎曼和，首先将区间分成 $n$ 个子区间，每个子区间的宽度为 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，然后在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 中选择一个样本点 $x_i^*$（可以是左端点、右端点或任意点），计算函数值 $f(x_i^*)$ 与子区间宽度 $\Delta x$ 的乘积，最后将所有矩形面积相加。用求和符号表示为：黎曼和 = $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$，其中 $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$。当 $n \to \infty$ 时，黎曼和趋近于定积分的值。

核心公式¶

$["$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$，其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$", "$x_i = a + i \cdot \Delta x$（第 $i$ 个子区间的右端点）", "$x_{i-1} = a + (i-1) \cdot \Delta x$（第 $i$ 个子区间的左端点）", "$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx$", "$x_i^* = a + (i - 0.5) \Delta x$（第 $i$ 个子区间的中点）"]$

易错点¶

⚠️ ["混淆子区间宽度的计算：错误地使用 $\Delta x = \frac{b}{n}$ 或其他错误的公式，而不是正确的 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$", "样本点选择错误：在左端点黎曼和中使用 $f(x_i)$ 而非 $f(x_{i-1})$，或在右端点黎曼和中索引混乱，导致求和范围或函数值错误", "求和指标混淆：不清楚求和从 $i=1$ 还是 $i=0$ 开始，或者在转换不同类型黎曼和时没有正确调整索引范围", "忽视 $\Delta x$ 的提取：在求和符号中没有正确提取常数 $\Delta x$，写成 $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^* (b-a)/n)$ 而非 $\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)$"]