2.4.2 Product Rule Applications (乘积法则应用)

运用乘积法则求解多项式、三角函数、指数函数等不同类型函数乘积的导数，包括多个函数相乘的情况

定义

乘积法则是微积分中用于求两个或多个函数乘积的导数的基本法则。对于两个可导函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 的乘积 \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\)，其导数为：第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。对于多个函数相乘的情况，乘积法则可以推广：每一项都是其中一个函数的导数乘以其他所有函数的乘积，然后将所有这样的项相加。乘积法则适用于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等各种类型函数的乘积。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
• \(\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)] = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x)\)
• \(\frac{d}{dx}[f(x)]^n = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)\)（链式法则与乘积法则结合）
• \(\frac{d}{dx}[e^x \cdot p(x)] = e^x \cdot p(x) + e^x \cdot p'(x) = e^x[p(x) + p'(x)]\)
• \(\frac{d}{dx}[\sin(x) \cdot \cos(x)] = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)

易错点

• ⚠️ 忘记应用乘积法则，错误地将导数分别作用于每个因子后直接相乘，即错误地写成 \((uv)' = u'v'\) 而不是 \(u'v + uv'\)
• ⚠️ 在处理多个函数相乘时，遗漏某些项。例如对于三个函数的乘积，只计算了两项而忽略了第三项
• ⚠️ 与链式法则混淆，特别是在处理形如 \([f(x)g(x)]^n\) 的表达式时，没有正确区分何时使用乘积法则、何时使用链式法则或两者结合
• ⚠️ 在计算指数函数与多项式的乘积导数时，错误地认为 \((e^x \cdot p(x))' = e^x \cdot p'(x)\)，遗漏了 \(e^x \cdot p(x)\) 这一项