2.1.5 Non-differentiable Cases

函数不可导的典型情况，包括尖点、不连续点、垂直切线等常见不可导类型

定义

函数不可导是指在某点处导数不存在的情况。函数 \(f(x)\) 在点 \(x=a\) 处不可导，意味着极限 \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 不存在或无穷大。常见的不可导情况包括：

1. 尖点（Corner/Cusp）：函数在该点处左导数和右导数存在但不相等，即 \(f'_-(a) \neq f'_+(a)\)。此时函数在该点连续但不可导。

2. 不连续点（Discontinuity）：函数在该点处不连续，则必然不可导。若 \(\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)\) 或极限不存在，则 \(f\) 在 \(x=a\) 处不可导。

3. 垂直切线（Vertical Tangent）：函数在该点处连续，但切线斜率趋于无穷大，即 \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \pm\infty\)。

4. 震荡不连续（Oscillating Discontinuity）：函数在该点附近剧烈震荡，导致导数极限不存在。

这些情况都违反了可导的充要条件：函数在该点必须连续，且左右导数相等。

核心公式

• \(["\)f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 存在且有限是函数在 \(x=a\) 处可导的充要条件", "\(f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 和 \(f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 相等时函数才可导", "若 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处不连续，则 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处必不可导", "尖点处的判断：\(f'_-(a) \neq f'_+(a)\) 或至少一个单侧导数不存在时，\(f\) 在 \(x=a\) 处不可导", "\(\\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \\pm\\infty\) 表示存在垂直切线，函数在该点不可导"]$

易错点

• ⚠️ 混淆连续性与可导性：学生常误认为函数连续就一定可导。实际上连续是可导的必要条件但不充分，尖点处的函数连续但不可导。
• ⚠️ 忽视单侧导数的检验：在判断尖点时，只计算一侧导数或忽视左右导数不相等的情况，导致错误判断函数可导性。
• ⚠️ 对垂直切线的理解不足：将垂直切线（导数为 \(\pm\infty\)）误认为导数存在，或未能识别出垂直切线表示函数不可导。
• ⚠️ 未检验连续性就判断可导性：直接计算导数而不先验证函数在该点的连续性，遗漏了不连续点必然不可导这一关键性质。