1.3.1 Left-Hand Limits (左极限)

定义并计算当自变量从左侧趋近某点时函数的极限值，记作 lim(x→a⁻) f(x)

定义

左极限（Left-Hand Limit）是指当自变量 \(x\) 从左侧趋近于某个值 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的极限值。形式上，我们说函数 \(f(x)\) 当 \(x\) 从左侧趋近于 \(a\) 时的左极限为 \(L\)，记作 \(\lim_{x \to a^-} f(x) = L\)，当且仅当：对于任意小的正数 \(\varepsilon > 0\)，都存在正数 \(\delta > 0\)，使得当 \(a - \delta < x < a\) 时，有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)。换句话说，当 \(x\) 从 \(a\) 的左侧无限接近 \(a\) 时，\(f(x)\) 无限接近于 \(L\)。左极限只关注 \(x < a\) 的情况，不涉及 \(x = a\) 处的函数值。

核心公式

• \(["\)\lim_{x \to a^-} f(x) = L\(", "\)\lim_{x \to a^-} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ 当 } a - \delta < x < a \text{ 时，} |f(x) - L| < \varepsilon\(", "\)\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ 且 } \lim_{x \to a^+} f(x) = L\(", "\)\lim_{x \to a^-} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a^-} f(x) + \lim_{x \to a^-} g(x)\(", "\)\lim_{x \to a^-} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a^-} f(x) \cdot \lim_{x \to a^-} g(x)\("]\)

易错点

• ⚠️ ["混淆左极限和右极限的方向：学生常常错误地从右侧趋近而不是从左侧趋近，导致计算错误。记住 \(x \to a^-\) 表示 \(x\) 从小于 \(a\) 的值趋近于 \(a\)。", "忽视左极限与函数值的区别：左极限 \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) 的存在与否完全独立于 \(f(a)\) 是否存在或等于什么。即使 \(f(a)\) 未定义，左极限仍可能存在。", "在分段函数中错误地选择表达式：对于分段函数，计算左极限时必须使用 \(x < a\) 对应的表达式，而不是在 \(x = a\) 处的表达式。", "错误地应用极限运算法则：学生有时会在左极限不存在的情况下仍然尝试应用加法或乘法法则。必须先确认所有涉及的左极限都存在，才能使用这些法则。"]