3.4.2 Finding Derivatives of Inverse Functions¶

利用反函数导数公式计算具体反函数在给定点的导数值

定义¶

反函数的导数是指对反函数在某一点的导数进行求解。若函数 $f(x)$ 在某区间上单调且可导，且 $f'(x) \neq 0$，则其反函数 $f^{-1}(x)$ 也可导。反函数导数的核心原理基于反函数与原函数的关系：若 $y = f(x)$，则 $x = f^{-1}(y)$。通过对反函数关系式两边对 $x$ 求导，可以建立反函数导数与原函数导数之间的关系。具体地，反函数在点 $x = a$ 处的导数等于原函数在对应点处导数的倒数。

核心公式¶

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
$(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$
$如果 $y = f^{-1}(x)$，则 $f(y) = x$，两边对 $x$ 求导得：$f'(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 1$，因此 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
$若已知 $f(a) = b$，则 $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$
$对于反函数在特定点的导数：$(f^{-1})'(x_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}$，其中 $x_0$ 是反函数定义域内的点$

易错点¶

⚠️ 混淆导数的倒数与反函数的导数：学生常误认为 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(x)}$，而忽视了需要在反函数值处求原函数的导数，即应为 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
⚠️ 在计算反函数导数时，未能正确识别对应点：当给定反函数在点 $x = a$ 处的导数时，学生常忘记先求出 $f^{-1}(a)$ 的值，然后在该点处求原函数的导数
⚠️ 对反函数的定义理解不清：误认为反函数导数公式中的 $x$ 和 $f^{-1}(x)$ 是同一个量，导致在代入时出错
⚠️ 计算过程中符号或数值错误：在求导过程中出现计算错误，或在最后一步求倒数时出现符号错误