8.1.2 Area Between Curves (Horizontal Slicing)

使用水平切片法计算两条曲线之间的面积，积分变量为y，积分式为∫c,ddy

定义

水平切片法（Horizontal Slicing）是计算两条曲线之间面积的一种方法。当曲线用 \(x = f(y)\) 和 \(x = g(y)\) 的形式表示时，将积分区间沿 \(y\) 轴分割成无穷小的水平条形。对于在 \(y \in [c, d]\) 区间内，右边界曲线为 \(x = f(y)\)，左边界曲线为 \(x = g(y)\)（其中 \(f(y) \geq g(y)\)），两条曲线之间的面积等于所有水平条形面积的和。这种方法特别适用于曲线难以表示为 \(y = f(x)\) 形式，或者用竖直切片会导致积分复杂化的情况。

核心公式

• \(A = \int_{c}^{d} [f(y) - g(y)] \, dy\)
• \(A = \int_{c}^{d} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy\)
• \(dA = [f(y) - g(y)] \, dy\)
• \(A = \int_{c}^{d} |f(y) - g(y)| \, dy\)（当曲线位置关系改变时）
• \(\text{总面积} = \sum_{i=1}^{n} \int_{y_i}^{y_{i+1}} [f(y) - g(y)] \, dy\)（分段积分）

易错点

• ⚠️ 混淆积分变量和被积函数：学生常常将 \(y\) 的范围 \([c,d]\) 误认为是 \(x\) 的范围，或者在设置积分时忘记将曲线方程改写为 \(x = f(y)\) 的形式，导致被积函数错误。
• ⚠️ 确定左右边界时出错：在水平切片中，需要比较两条曲线在同一 \(y\) 值处的 \(x\) 坐标大小，确定哪条曲线在右边。学生常常不仔细分析就假设某条曲线总是在右边，或者在边界处理不当。
• ⚠️ 积分限的确定不准确：学生可能错误地使用曲线的 \(y\) 截距作为积分限，而忽视了两条曲线的实际交点。必须求解 \(f(y) = g(y)\) 来找到正确的积分上下限 \(c\) 和 \(d\)。
• ⚠️ 忽视曲线位置关系的变化：在某些问题中，两条曲线的相对位置可能在积分区间内改变（即左右关系互换），此时需要分段积分并使用绝对值或分别计算，而不能用单一的 \(\int_c^d [f(y) - g(y)] dy\)。