5.2.3 Local Extrema (局部极值)¶

局部最大值和局部最小值的定义，以及极值的必要条件

定义¶

局部极值是指函数在某个点的邻域内的最大值或最小值。具体地：

局部最大值（Local Maximum）：如果存在点 \(c\) 的一个邻域，使得对于该邻域内的所有 \(x\)，都有 \(f(x) \leq f(c)\)，则称 \(f(c)\) 是函数 \(f\) 在点 \(c\) 处的局部最大值，点 \(c\) 称为局部最大值点。

局部最小值（Local Minimum）：如果存在点 \(c\) 的一个邻域，使得对于该邻域内的所有 \(x\)，都有 \(f(x) \geq f(c)\)，则称 \(f(c)\) 是函数 \(f\) 在点 \(c\) 处的局部最小值，点 \(c\) 称为局部最小值点。

极值的必要条件（费马定理）：如果函数 \(f\) 在点 \(c\) 处可导且在该点取得局部极值，则必有 \(f'(c) = 0\)。这样的点称为临界点（Critical Point）。

临界点的完整定义：函数 \(f\) 的临界点是使得 \(f'(c) = 0\) 或 \(f'(c)\) 不存在的点 \(c\)。注意：并非所有临界点都是极值点，需要进一步检验。

\(f(c) \text{ 是局部最大值} \Leftrightarrow \exists \delta > 0, \forall x \in (c-\delta, c+\delta), f(x) \leq f(c)\)
\(f(c) \text{ 是局部最小值} \Leftrightarrow \exists \delta > 0, \forall x \in (c-\delta, c+\delta), f(x) \geq f(c)\)
\(\text{费马定理：若 } f \text{ 在 } c \text{ 处可导且有局部极值，则 } f'(c) = 0\)
\(\text{临界点：} f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在}\)
\(\text{极值点必是临界点，但临界点不一定是极值点}\)

⚠️ 混淆局部极值与全局极值：局部极值只需在某个邻域内是最大/最小值，而全局极值是在整个定义域内的最大/最小值。学生常误认为所有局部极值都是全局极值。
⚠️ 忽视导数不存在的点：学生在寻找临界点时，往往只关注 \(f'(c) = 0\) 的点，忽略了导数不存在的点（如尖点、不可导点），这些点也可能是极值点。
⚠️ 认为所有临界点都是极值点：费马定理只说明极值点必是临界点，反之不成立。例如 \(f(x) = x^3\) 在 \(x = 0\) 处有 \(f'(0) = 0\)，但 \(x = 0\) 不是极值点（这是拐点）。
⚠️ 在端点处的处理错误：在闭区间上，函数的最大/最小值可能在端点处取得，但端点不是临界点。学生在求极值时常忽视端点的检验。