5.2.2 Absolute Extrema (绝对极值/最值)¶

闭区间上函数绝对最大值和最小值的概念及闭区间极值定理

定义¶

绝对极值（Absolute Extrema）是指函数在给定区间上的最大值和最小值。具体地，设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上有定义，则：

绝对最大值（Absolute Maximum）：如果存在 \(c \in [a,b]\)，使得对所有 \(x \in [a,b]\) 都有 \(f(c) \geq f(x)\)，则称 \(f(c)\) 为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的绝对最大值，\(c\) 称为绝对最大值点。

绝对最小值（Absolute Minimum）：如果存在 \(c \in [a,b]\)，使得对所有 \(x \in [a,b]\) 都有 \(f(c) \leq f(x)\)，则称 \(f(c)\) 为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的绝对最小值，\(c\) 称为绝对最小值点。

绝对极值点可能出现在：(1) 区间内部的临界点（critical points），其中 \(f'(c) = 0\) 或 \(f'(c)\) 不存在；(2) 区间的端点 \(a\) 或 \(b\)。

\(\text{闭区间极值定理（Extreme Value Theorem）：若函数 } f \text{ 在闭区间 } [a,b] \text{ 上连续，则 } f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上必有绝对最大值和绝对最小值。}\)
\(\text{临界点的定义：} c \text{ 是 } f \text{ 的临界点当且仅当 } f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在}\)
\(\text{求闭区间上绝对极值的步骤：}\\(1)\text{ 求 } [a,b] \text{ 内所有临界点 } c_1, c_2, \ldots, c_n \\(2)\text{ 计算 } f(a), f(c_1), f(c_2), \ldots, f(c_n), f(b) \\(3)\text{ 最大值为这些函数值中的最大者，最小值为最小者}\)
\(\text{费马定理（Fermat's Theorem）：若 } f \text{ 在 } (a,b) \text{ 内的点 } c \text{ 处有局部极值，且 } f'(c) \text{ 存在，则 } f'(c) = 0\)
\(\text{绝对极值与局部极值的关系：绝对极值点必是临界点或端点，但临界点不一定是绝对极值点}\)

⚠️ 忽视端点：学生常常只检查导数为零的临界点，而忘记在闭区间的两个端点处也要计算函数值。绝对极值经常出现在端点处，尤其是当函数在区间内部单调时。
⚠️ 混淆临界点与极值点：并非所有临界点都是极值点。例如在拐点处可能有 \(f'(c) = 0\)，但该点既不是最大值点也不是最小值点。必须通过比较所有候选点的函数值来确定。
⚠️ 在开区间上应用极值定理：极值定理只适用于闭区间上的连续函数。在开区间 \((a,b)\) 上，即使函数连续也不一定存在绝对极值。
⚠️ 忽视导数不存在的点：临界点包括 \(f'(c) = 0\) 和 \(f'(c)\) 不存在的点。学生有时只找导数为零的点，遗漏了导数不存在（如尖点、垂直切线）的临界点。