3.6.5 Logarithmic Differentiation

对数求导法的技巧，用于处理复杂的乘积、商式和幂函数形式 y = [f(x)]^g(x) 的求导

定义

对数求导法（Logarithmic Differentiation）是一种求导技巧，通过对等式两边同时取自然对数，将复杂的乘积、商式或幂函数形式转化为更容易求导的形式。特别适用于以下情况：(1) 形如 \(y = [f(x)]^{g(x)}\) 的幂指函数，其中底数和指数都是 \(x\) 的函数；(2) 包含多个因子的乘积或商式，如 \(y = \frac{u_1(x) \cdot u_2(x) \cdots u_n(x)}{v_1(x) \cdot v_2(x) \cdots v_m(x)}\)；(3) 包含根号和复杂分式的函数。基本思路是：对原函数 \(y = f(x)\) 两边取自然对数得 \(\ln y = \ln f(x)\)，然后对两边关于 \(x\) 求导，利用链式法则和对数的性质简化计算，最后解出 \(\frac{dy}{dx}\)。

核心公式

• \(["\)\frac{d}{dx}[\ln y] = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}\(", "\)y = [f(x)]^{g(x)} \Rightarrow \ln y = g(x) \ln f(x)\(", "\)\frac{d}{dx}[\ln y] = \frac{d}{dx}[g(x) \ln f(x)] = g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\(", "\)\frac{dy}{dx} = y \left[ g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right] = [f(x)]^{g(x)} \left[ g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right]\(", "\)\ln(uv) = \ln u + \ln v, \quad \ln\left(\frac{u}{v}\right) = \ln u - \ln v, \quad \ln(u^n) = n \ln u\("]\)

易错点

• ⚠️ ["忘记在对数求导后乘以原函数 \(y\)，即得到 \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}\) 后直接给出答案而不是 \(\frac{dy}{dx} = y \times (\text{右侧表达式})\)", "在处理幂指函数 \(y = [f(x)]^{g(x)}\) 时，错误地只对指数求导或只对底数求导，而忽视了两者都是 \(x\) 的函数，需要同时应用乘积法则", "对数化简时出错，例如错误地将 \(\ln(u + v)\) 写成 \(\ln u + \ln v\)，或在展开 \(\ln(uv)\) 时遗漏某些项", "在求导过程中应用链式法则不完整，特别是在计算 \(\frac{d}{dx}[g(x) \ln f(x)]\) 时忘记对 \(\ln f(x)\) 应用链式法则得到 \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)"]