1.5.1 Definition of Continuity at a Point¶

函数在某点连续的三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值

定义¶

函数在某点连续的定义：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x = a\) 的某个邻域内有定义，如果满足以下三个条件，则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x = a\) 处连续： 1. 函数在该点有定义，即 \(f(a)\) 存在； 2. 函数在该点的极限存在，即 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 存在； 3. 极限值等于函数值，即 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)。

这三个条件缺一不可。如果函数在点 \(x = a\) 处不满足上述任何一个条件，则称函数在该点不连续（或间断）。

核心公式¶

\(f(x) \text{ 在 } x = a \text{ 处连续} \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
\(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\)
\(\lim_{x \to a} f(x) = L \text{ 且 } f(a) = L\)
\(f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续} \Leftrightarrow f(x) \text{ 在 } (a,b) \text{ 内连续，且 } \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a), \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\)
\(\text{若 } f(x) \text{ 和 } g(x) \text{ 在 } x = a \text{ 处连续，则 } f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) \cdot g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(g(a) \neq 0) \text{ 也在 } x = a \text{ 处连续}\)

易错点¶

⚠️ 混淆连续性的三个条件：学生常常只检查极限是否存在，而忽视函数在该点是否有定义或极限值是否等于函数值。例如，函数 \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 处的极限存在且等于 2，但因为 \(f(1)\) 未定义，所以函数在该点不连续。
⚠️ 错误地认为极限存在就意味着连续：即使 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 存在，如果 \(f(a)\) 不存在或 \(\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)\)，函数仍然在该点不连续。这是可去间断点的典型情况。
⚠️ 在验证左右极限时出错：学生有时只检查单侧极限而不检查两侧极限是否相等。函数在某点连续要求 \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\)，三者必须全部相等。
⚠️ 忽视定义域的限制：在闭区间 \([a,b]\) 的端点处，连续性的定义与内部点不同。在 \(x=a\) 处只需要右极限等于函数值，在 \(x=b\) 处只需要左极限等于函数值，而不是双侧极限。