3.5.3 Derivative of Arctangent (arctan x)

反正切函数 arctan x 的导数公式 d/dx(arctan x) = 1/(1+x²) 的推导及应用

定义

反正切函数（arctangent function）的导数是指对反正切函数 \(y = \arctan x\) 求导得到的结果。反正切函数是正切函数 \(y = \tan x\) 在定义域 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) 上的反函数，其定义域为全体实数 \(\mathbb{R}\)，值域为 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)。反正切函数的导数公式为：\(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\)。这个公式可以通过隐函数求导法推导得出：设 \(y = \arctan x\)，则 \(\tan y = x\)，对两边关于 \(x\) 求导得 \(\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1\)，因此 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1+\tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}\)。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\)
• \(\frac{d}{dx}(\arctan u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}\)（链式法则）
• \(\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\)
• \(\sec^2 y = 1 + \tan^2 y\)（恒等式）
• \(\frac{d}{dx}(\arctan(ax)) = \frac{a}{1+a^2x^2}\)

易错点

• ⚠️ 忘记应用链式法则：当求 \(\arctan(u)\) 的导数时，学生常常只写出 \(\frac{1}{1+u^2}\)，而忽略了乘以 \(\frac{du}{dx}\)，导致答案不完整。
• ⚠️ 混淆分母中的表达式：学生容易将导数公式错误地写成 \(\frac{1}{1+x}\) 或 \(\frac{1}{(1+x)^2}\)，而不是正确的 \(\frac{1}{1+x^2}\)。
• ⚠️ 在复合函数中处理系数错误：对于 \(\arctan(ax)\) 的导数，学生可能忘记 \(a\) 在分子中出现，或在分母中错误地处理 \(a\) 的平方，导致得到 \(\frac{1}{1+ax^2}\) 而非 \(\frac{a}{1+a^2x^2}\)。
• ⚠️ 与反正弦和反余弦导数混淆：学生可能将 \(\arctan x\) 的导数与 \(\arcsin x\) 的导数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 或 \(\arccos x\) 的导数 \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 混淆，导致使用错误的公式。