6.2.4 Trapezoidal Sum（梯形法）

使用梯形而非矩形来近似每个子区间下的面积，通过连接相邻函数值形成梯形上边

定义

梯形法（Trapezoidal Sum）是一种数值积分方法，用于近似曲线下的面积。将积分区间 \([a,b]\) 等分成 \(n\) 个子区间，每个子区间宽度为 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)。在每个子区间上，不再用矩形来近似面积，而是用梯形来近似。具体地，对于第 \(i\) 个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\)，梯形的两条平行边分别是函数在左端点和右端点的函数值 \(f(x_{i-1})\) 和 \(f(x_i)\)，梯形的高为 \(\Delta x\)。梯形法通过将所有子区间上的梯形面积相加，得到对积分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) 的近似值。相比于左端点和右端点黎曼和，梯形法通常能提供更精确的近似，特别是对于光滑函数。

核心公式

• \(["\)T_n = \frac{\Delta x}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]\(", "\)\Delta x = \frac{b-a}{n}\(", "\)T_n = \frac{b-a}{2n}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]\(", "\)T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{\Delta x}{2}[f(x_{i-1}) + f(x_i)]\(", "\)\int_a^b f(x)\,dx \approx T_n\("]\)

易错点

• ⚠️ ["忘记在中间项前乘以系数 2，导致计算结果错误。梯形法的关键特征是除了第一项和最后一项外，所有中间项都要乘以 2", "混淆梯形法与左端点或右端点黎曼和。梯形法是对每个子区间使用梯形（即同时使用左右两个端点的函数值），而不是只用一个端点的函数值", "在计算 \(\Delta x\) 时出错，特别是在 \(n\) 个子区间的情况下，应该是 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)，而不是 \(\frac{b-a}{n+1}\)", "没有正确理解梯形面积公式。每个梯形的面积是 \(\frac{\Delta x}{2}[f(x_{i-1}) + f(x_i)]\)，而不是 \(\Delta x \cdot \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\)（虽然这两个表达式数学上等价，但容易在计算中出错）"]