7.2.1 Verification by Direct Substitution（直接代入验证）

通过将给定函数及其导数代入微分方程，验证等式两边是否相等来确认解的正确性

定义

直接代入验证是一种验证函数是否为微分方程解的方法。给定一个微分方程和一个候选函数，通过以下步骤进行验证：(1) 对候选函数求导，得到所需阶数的导数；(2) 将该函数及其导数代入原微分方程；(3) 化简等式两边；(4) 检验等式两边是否相等。如果代入后等式恒成立，则该函数是微分方程的解；如果等式不成立，则该函数不是解。对于形如 \(\frac{dy}{dx} = f(x, y)\) 的一阶微分方程，若函数 \(y = g(x)\) 满足 \(g'(x) = f(x, g(x))\)，则 \(y = g(x)\) 是该微分方程的解。对于高阶微分方程，需要求出相应阶数的导数后进行验证。

核心公式

• \(\frac{dy}{dx} = f(x, y) \text{ 的解满足：} y = g(x) \text{ 时，} g'(x) = f(x, g(x))\)
• \(\frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = r(x) \text{ 的验证：将 } y, y', y'' \text{ 代入等式两边}\)
• \(\text{若代入后得到恒等式（如 } 0 = 0 \text{ 或 } c = c \text{），则函数是解}\)
• \(y = Ce^{kx} \text{ 是 } \frac{dy}{dx} = ky \text{ 的解，其中 } y' = Cke^{kx} = ky\)
• \(y = A\sin(\omega x) + B\cos(\omega x) \text{ 是 } \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2 y = 0 \text{ 的解}\)

易错点

• ⚠️ 求导错误：对复杂函数求导时出错，特别是涉及链式法则、乘积法则或商法则的情况。例如，对 \(y = e^{2x}\sin(x)\) 求导时忘记应用乘积法则或链式法则。
• ⚠️ 代入不完整：只验证了原函数而没有验证其导数，或者只代入了等式的一边而没有化简另一边进行比较。
• ⚠️ 化简错误：代入后的代数化简出错，导致无法正确判断等式两边是否相等。特别是在处理分数、指数或三角函数时容易出现符号错误。
• ⚠️ 忽视初始条件：在验证特解时，只验证了微分方程本身，但没有检查初始条件（如 \(y(0) = y_0\)）是否满足，导致选择了错误的特解。