3.4.1 Inverse Function Theorem（反函数定理）

反函数存在性条件及反函数导数公式 (f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x)) 的理论基础

定义

反函数定理（Inverse Function Theorem）是微积分中关于反函数可导性的重要定理。设函数 \(f\) 在区间 \([a,b]\) 上连续且严格单调（严格递增或严格递减），则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上存在反函数 \(f^{-1}\)。若 \(f\) 在点 \(x_0\) 处可导且 \(f'(x_0) \neq 0\)，则反函数 \(f^{-1}\) 在对应点 \(y_0 = f(x_0)\) 处也可导。反函数定理的核心结论是：反函数的导数等于原函数导数的倒数，即如果 \(y = f(x)\) 且 \(f'(x) \neq 0\)，则 \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)，或等价地写成 \((f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)。

核心公式

• \((f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)
• \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)，其中 \(y = f(x)\)
• \(\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dy} = 1\)
• $若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续严格单调且 \(f'(x) \neq 0\)，则 \(f^{-1}\) 在 \([f(a), f(b)]\) 上可导$
• \(\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)

易错点

• ⚠️ 混淆导数倒数的位置：错误地写成 \((f^{-1})'(x) = f'(x)\) 或 \((f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(x)}\)（忽视了需要在 \(f^{-1}(x)\) 处求导），正确形式应该是 \((f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)
• ⚠️ 忽视 \(f'(x) \neq 0\) 的条件：当 \(f'(x) = 0\) 时反函数在该点不可导，学生常常忽视这个前提条件，导致错误地应用公式
• ⚠️ 在具体计算时，不能正确识别 \(f^{-1}(x)\) 的值：例如求 \((f^{-1})'(2)\) 时，需要先找到 \(f^{-1}(2)\) 的值（即满足 \(f(a)=2\) 的 \(a\)），然后代入 \(f'(a)\) 的倒数
• ⚠️ 混淆隐函数求导与反函数求导：反函数求导有明确的公式，不需要用隐函数求导法，直接应用反函数定理更简洁高效