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6.8.4 简单的换元积分 (Basic Substitution)

掌握识别和求解形如∫f(g(x))g'(x)dx的简单复合函数不定积分

定义

简单的换元积分（也称为u-替换法）是一种求解复合函数不定积分的方法。当被积函数具有\(f(g(x))g'(x)\)的形式时，可以通过设\(u = g(x)\)，则\(du = g'(x)dx\)，将原积分转化为\(\int f(u)du\)的形式，求解后再将\(u\)替换回\(g(x)\)。这种方法是链式法则在积分中的逆向应用，是求解复合函数不定积分的基本技巧。

核心公式

  • \(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C\)，其中\(u = g(x)\)，\(du = g'(x)dx\)
  • \(\int (ax + b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\)（\(n \neq -1\)）
  • \(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C\)
  • \(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C\)
  • \(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C\)；\(\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C\)

易错点

  • ⚠️ 忘记在换元后乘以\(\frac{1}{g'(x)}\)或\(\frac{1}{a}\)的系数。例如，\(\int (2x+1)^3 dx\)应该等于\(\frac{(2x+1)^4}{8} + C\)而不是\(\frac{(2x+1)^4}{4} + C\)
  • ⚠️ 换元后忘记将\(u\)替换回原变量\(g(x)\)，导致答案中仍然含有\(u\)而不是原变量
  • ⚠️ 在处理形如\(\int \frac{1}{ax+b} dx\)的积分时，忘记在对数前加上系数\(\frac{1}{a}\)，或忘记加绝对值符号
  • ⚠️ 错误地识别\(g'(x)\)，导致无法正确应用换元法。例如，在\(\int 2x\sin(x^2)dx\)中，应该识别\(g(x) = x^2\)，\(g'(x) = 2x\)