3.5.2 Derivative of Arccosine (arccos x)

反余弦函数 arccos x 的导数公式 d/dx(arccos x) = -1/√(1-x²) 的推导及其与 arcsin 的关系

定义

反余弦函数（arccosine function）是余弦函数的反函数，记作 \(y = \arccos x\) 或 \(y = \cos^{-1} x\)，其定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([0, \pi]\)。反余弦函数的导数是指对 \(\arccos x\) 关于 \(x\) 的导数，其导数公式为 \(\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，其中 \(x \in (-1, 1)\)。这个公式表明反余弦函数的导数始终为负，反映了 \(\arccos x\) 在其定义域上单调递减的性质。该导数可通过隐函数求导法或反函数求导法推导得出。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1, 1)\)
• \(\frac{d}{dx}(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}\) （链式法则）
• \(\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}\) （互补关系）
• \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) （与反正弦导数的关系）
• \(\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arccos x + C\)

易错点

• ⚠️ ["忽视负号：学生常错误地写成 \(\frac{d}{dx}(\arccos x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，忘记了反余弦函数导数前面的负号，这是因为 \(\arccos x\) 是单调递减函数", "混淆反正弦和反余弦的导数：\(\arcsin x\) 的导数是 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)（正），而 \(\arccos x\) 的导数是 \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)（负），学生容易将两者混淆", "在使用链式法则时出错：对于 \(\arccos(u(x))\)，学生可能忘记乘以 \(\frac{du}{dx}\)，或在复合函数中错误地处理导数", "定义域错误：学生可能忽视导数仅在 \(x \\in (-1, 1)\) 上有定义，在 \(x = \\pm 1\) 处导数不存在（趋于无穷大）"]