3.4.3 Derivatives Using Inverse Relationship¶

通过隐函数微分法从 f(f⁻¹(x)) = x 推导反函数的导数

定义¶

反函数的导数是指通过隐函数微分法从基本关系式 $f(f^{-1}(x)) = x$ 推导出反函数导数的方法。当函数 $f$ 在某点可导且导数不为零时，其反函数 $f^{-1}$ 在对应点也可导。具体地，对等式 $f(f^{-1}(x)) = x$ 两边关于 $x$ 求导，利用链式法则可得：$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$，从而得到反函数的导数公式。这种方法强调了反函数与原函数导数之间的互倒关系，是理解反函数微分的核心概念。

核心公式¶

$f(f^{-1}(x)) = x$
$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
$如果 $y = f^{-1}(x)$，则 $x = f(y)$，因此 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(y)}$$
$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$

易错点¶

⚠️ 混淆反函数导数的位置：错误地写成 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(x)}$，忽视了分母中应该是 $f'(f^{-1}(x))$ 而非 $f'(x)$
⚠️ 在应用链式法则时遗漏：对 $f(f^{-1}(x)) = x$ 求导时，忘记在 $f'$ 处应用链式法则，导致无法正确推导出反函数导数公式
⚠️ 混淆导数与反函数的概念：将 $(f^{-1})'(x)$ 与 $\frac{1}{f'(x)}$ 混淆，不理解为什么反函数导数涉及复合函数的求导
⚠️ 在具体计算时代入错误的点：求 $(f^{-1})'(a)$ 时，错误地计算 $f'(a)$ 而不是 $f'(f^{-1}(a))$，导致最终答案错误