2.1.3 Differentiability¶

可导性的定义和条件，理解函数在某点可导的充要条件以及可导与连续的关系

定义¶

可导性是指函数在某一点处导数存在的性质。设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某个邻域内有定义，如果极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 存在且有限，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，该极限值称为函数在该点的导数，记为 $f'(a)$。等价地，也可以用 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 来定义。函数在某个区间上可导是指函数在该区间内的每一点都可导。

核心公式¶

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续$
$左导数：$f'-(a) = \lim{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$；右导数：$f'+(a) = \lim{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$；$f(x)$ 在 $x=a$ 处可导当且仅当 $f'_-(a) = f'_+(a)$$
$可导性的充要条件：函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导 $\Leftrightarrow$ 函数在该点连续且左右导数存在且相等$

易错点¶

⚠️ 混淆可导与连续的关系：认为连续一定可导。实际上，可导能推出连续，但连续不能推出可导（如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）。
⚠️ 忽视左右导数的检验：在判断分段函数或含有绝对值的函数在分界点处的可导性时，只计算导数公式而不检验左右导数是否相等，导致错误判断。
⚠️ 误认为导数不存在就是导数为零：导数不存在（如无穷大、左右导数不相等）与导数为零是完全不同的概念。
⚠️ 在应用可导性时忽视定义域限制：某些函数在某些点处无定义或不在定义域内，因此在这些点处既不连续也不可导，不能直接应用可导性定理。