4.2.6 Total Distance Traveled¶

利用速度函数的积分计算总路程，区分位移与总路程的差异

定义¶

总路程（Total Distance Traveled）是指物体在运动过程中实际经过的路径长度，与位移不同。位移只考虑起点和终点之间的有向距离，而总路程必须考虑物体运动方向的改变。

对于直线运动，如果速度函数为 $v(t)$，在时间区间 $[a, b]$ 内的总路程定义为速度函数绝对值的积分：

\[\text{总路程} = \int_a^b |v(t)| \, dt\]

其中 $|v(t)||$ 表示速度的绝对值（即速率）。当速度改变符号时（物体改变运动方向），必须在速度为零的点处分割积分区间，分别计算各段的积分，然后求和。

相比之下，位移（Displacement）定义为： $$\text{位移} = \int_a^b v(t) \, dt = s(b) - s(a)$$

其中 $s(t)$ 是位置函数。位移可以为负值，而总路程始终为非负值。

$\text{总路程} = \int_a^b |v(t)| \, dt$
$\text{位移} = \int_a^b v(t) \, dt = s(b) - s(a)$
$\text{总路程} = \sum_{i=1}^{n} \int_{t_{i-1}}^{t_i} |v(t)| \, dt$（当速度在 $t_1, t_2, \ldots, t_{n-1}$ 处改变符号时）
$|v(t)| = \begin{cases} v(t) & \text{if } v(t) \geq 0 \\ -v(t) & \text{if } v(t) < 0 \end{cases}$
$\text{总路程} \geq |\text{位移}|$（等号成立当且仅当速度在区间内不改变符号）