1.5.3 Properties of Continuous Functions

连续函数的运算性质：和、差、积、商、复合函数的连续性

定义

连续函数的运算性质是指：如果函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x=a\) 处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）以及复合函数在该点也连续。具体地，设 \(f\) 和 \(g\) 在 \(x=a\) 处连续，则： 1. 和函数 \((f+g)(x)\) 在 \(x=a\) 处连续 2. 差函数 \((f-g)(x)\) 在 \(x=a\) 处连续 3. 积函数 \((f \cdot g)(x)\) 在 \(x=a\) 处连续 4. 商函数 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(x=a\) 处连续（当 \(g(a) \neq 0\) 时） 5. 复合函数 \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) 在 \(x=a\) 处连续（当 \(g\) 在 \(x=a\) 处连续，\(f\) 在 \(g(a)\) 处连续时）

这些性质说明连续函数的四则运算结果仍为连续函数，复合连续函数仍为连续函数。

核心公式

• \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = f(a) + g(a)\)
• \(\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = f(a) - g(a)\)
• \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = f(a) \cdot g(a)\)
• \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{f(a)}{g(a)} \quad (g(a) \neq 0)\)
• \(\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(g(a))\)（当 \(g\) 在 \(a\) 处连续，\(f\) 在 \(g(a)\) 处连续时）

易错点

• ⚠️ 误认为商函数的连续性不需要检查分母条件，忽视 \(g(a) \neq 0\) 的必要性。在 \(g(a) = 0\) 时，\(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(x=a\) 处可能不连续或无定义
• ⚠️ 在复合函数连续性判断中，只检查外层函数或内层函数的连续性，而忽视两个条件都必须满足：内层函数 \(g\) 在 \(x=a\) 处连续，外层函数 \(f\) 在 \(g(a)\) 处连续
• ⚠️ 混淆极限的运算法则与连续函数的性质，认为对于任意函数都能直接使用 \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)\)，而不检查函数是否在该点连续
• ⚠️ 在处理分段函数时，未能正确判断各段函数的连续性，特别是在分段点处没有验证左右极限是否相等且等于函数值