1.6.1 Removable Discontinuity (可去间断)

函数在某点极限存在但与函数值不等或函数在该点无定义，可通过重新定义函数值使其连续

定义

可去间断（Removable Discontinuity）是指函数在某点 \(x = a\) 处不连续，但该点处的极限存在的情况。具体来说，如果 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 存在（\(L\) 为有限值），但以下情况之一成立： 1. 函数在 \(x = a\) 处无定义（即 \(a\) 不在定义域内） 2. 函数在 \(x = a\) 处有定义，但 \(f(a) \neq L\)

则称 \(x = a\) 为函数 \(f(x)\) 的可去间断点。可去间断的特点是可以通过重新定义或补充函数在该点的值为 \(L\)，使得函数在该点变为连续。

核心公式

• \(\lim_{x \to a} f(x) = L \text{ 存在且为有限值}\)
• \(f(a) \text{ 无定义或 } f(a) \neq \lim_{x \to a} f(x)\)
• \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L\)
• \(f(x) = \frac{(x-a)g(x)}{x-a} \text{ 其中 } g(a) \neq 0 \text{ 时，} x=a \text{ 为可去间断}\)
• \(\text{修复后的函数：} f^*(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq a \\ L & x = a \end{cases} \text{ 在 } x=a \text{ 处连续}\)

易错点

• ⚠️ 混淆可去间断与跳跃间断：学生常误认为只要极限存在就是可去间断，但跳跃间断的左右极限存在但不相等，这不是可去间断。可去间断的关键特征是左右极限相等。
• ⚠️ 忽视函数在该点的定义状态：学生可能只看极限存在就判断为可去间断，但没有检查函数在该点是否有定义或定义值是否等于极限值。必须同时满足极限存在且与函数值不等（或无定义）。
• ⚠️ 错误地认为可去间断无法修复：学生有时认为间断点就是永久的缺陷，但可去间断的本质就是可以通过重新定义函数值来消除，这是其与其他间断类型的根本区别。
• ⚠️ 在化简表达式时遗漏约分条件：当处理形如 \(\frac{(x-a)p(x)}{(x-a)q(x)}\) 的函数时，学生可能直接约分而忽视 \(x \neq a\) 的限制，导致错误地判断间断类型。