3.5.4 Derivatives of Other Inverse Trig Functions

反余切、反正割、反余割函数（arccot, arcsec, arccsc）的导数公式及其推导

定义

反余切、反正割和反余割函数的导数是微积分中重要的求导公式。这三个函数分别是余切、正割和余割函数的反函数。

反余切函数（arccotangent）：设 \(y = \operatorname{arccot}(x)\)，其中 \(x \in \mathbb{R}\)，\(y \in (0, \pi)\)。反余切函数的导数表示函数值随自变量变化的瞬时变化率。

反正割函数（arcsecant）：设 \(y = \operatorname{arcsec}(x)\)，其中 \(|x| \geq 1\)，\(y \in [0, \pi]\) 且 \(y \neq \frac{\pi}{2}\)。反正割函数的导数描述了该函数的斜率变化。

反余割函数（arccosecant）：设 \(y = \operatorname{arccsc}(x)\)，其中 \(|x| \geq 1\)，\(y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 且 \(y \neq 0\)。反余割函数的导数同样遵循特定的求导规则。

这些导数公式可以通过隐函数求导法或反函数求导定理推导得出，是解决涉及反三角函数的微分问题的基础。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[\operatorname{arccot}(x)] = -\frac{1}{1+x^2}\)
• \(\frac{d}{dx}[\operatorname{arcsec}(x)] = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
• \(\frac{d}{dx}[\operatorname{arccsc}(x)] = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
• \(\frac{d}{dx}[\operatorname{arccot}(u)] = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}\) （链式法则）
• \(\frac{d}{dx}[\operatorname{arcsec}(u)] = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}\) （链式法则）

易错点

• ⚠️ 混淆反余切导数的符号：学生常误认为 \(\frac{d}{dx}[\operatorname{arccot}(x)] = \frac{1}{1+x^2}\)（正号），但实际上应该是负号 \(-\frac{1}{1+x^2}\)，这与反正切函数的导数形成对比。
• ⚠️ 忽视反正割和反余割导数中的绝对值符号：在 \(\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) 中，分母中的 \(|x|\) 不能省略，学生常错误地写成 \(\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)，导致在 \(x < -1\) 时符号错误。
• ⚠️ 在应用链式法则时出错：当对 \(\operatorname{arccot}(u)\) 或 \(\operatorname{arcsec}(u)\) 求导时，学生容易忘记乘以 \(\frac{du}{dx}\)，或在复合函数中遗漏内层函数的导数。
• ⚠️ 混淆反三角函数的定义域和值域：不同的反三角函数有不同的定义域和值域限制，这影响导数公式的适用范围，学生常忽视这些限制条件。