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3.1.1 Chain Rule Statement and Notation

链式法则的数学表述和各种记号形式，包括莱布尼茨记号和拉格朗日记号

定义

链式法则是微积分中用于求复合函数导数的基本法则。设 \(u = g(x)\) 和 \(y = f(u)\) 分别为两个可导函数，则复合函数 \(y = f(g(x))\) 的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。链式法则可以推广到多层复合函数的情况，是求导运算中最重要的法则之一。

核心公式

  • \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
  • \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
  • \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}\) （多层复合）
  • \(y' = f'(u) \cdot u'\) （其中 \(u = g(x)\)）

易错点

  • ⚠️ 忘记乘以内层函数的导数，只对外层函数求导。例如：对 \(\sin(x^2)\) 求导时，错误地写成 \(\cos(x^2)\) 而不是 \(\cos(x^2) \cdot 2x\)
  • ⚠️ 混淆莱布尼茨记号中的分数形式，误认为 \(\frac{dy}{dx}\) 可以像普通分数一样约分，而忽视其作为导数的本质含义
  • ⚠️ 在多层复合函数中遗漏中间层的导数。例如对 \(\sin(\cos(x))\) 求导时，只乘以 \(\cos(\cos(x))\) 而忘记再乘以 \(-\sin(x)\)
  • ⚠️ 对链式法则的应用顺序混乱，从内到外或从外到内的方向不清楚，导致求导过程混乱或结果错误