1.2.2 Direct Substitution Method (直接代入法)

当函数在某点连续时，通过直接将自变量值代入函数来计算极限的方法

定义

直接代入法是计算函数极限的最基础方法。当函数 \(f(x)\) 在点 \(x = a\) 处连续时，可以通过直接将 \(x = a\) 代入函数表达式来求极限，即 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)。这种方法基于连续函数的定义：如果函数在某点连续，则该点的极限值等于函数值。直接代入法适用于所有初等函数（多项式、有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等）在其定义域内的点。使用此方法时，必须首先验证函数在该点处连续或至少极限存在，否则不能直接代入。

核心公式

• \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)（当 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处连续时）
• \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)\)（和的极限）
• \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = f(a) \cdot g(a)\)（积的极限）
• \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(a)}{g(a)}\)（当 \(g(a) \neq 0\) 时，商的极限）
• \(\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [f(a)]^n\)（幂的极限，\(n\) 为正整数）

易错点

• ⚠️ 忽视定义域限制：直接代入前未检查函数在该点是否有定义或连续。例如，对于 \(f(x) = \frac{1}{x-1}\)，不能直接代入 \(x=1\)，因为函数在该点无定义。
• ⚠️ 对分母为零的情况处理不当：当直接代入导致 \(\frac{0}{0}\) 型不定式时，仍然尝试直接代入。此时需要先化简（如因式分解、有理化）再代入。
• ⚠️ 混淆函数值与极限值：认为 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 必然等于 \(f(a)\)，忽视了函数在该点可能不连续的情况。例如分段函数在分界点处。
• ⚠️ 对复合函数处理不当：对于 \(\lim_{x \to a} f(g(x))\) 的形式，直接代入 \(x=a\) 而不验证内层函数 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 处的连续性和外层函数 \(f\) 在 \(g(a)\) 处的连续性。