6.2.6 Improving Approximation Accuracy（提高近似精度）

通过增加子区间数量（减小区间宽度）来提高黎曼和对实际面积的近似精度

定义

提高近似精度是指通过增加黎曼和中的子区间数量（即减小每个子区间的宽度 \(\Delta x\)）来使黎曼和的值更接近曲线下的实际面积。当子区间数量 \(n\) 趋向于无穷大时，\(\Delta x = \frac{b-a}{n} \to 0\)，黎曼和 \(\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\) 会收敛到定积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\)，从而达到精确的面积值。这个过程体现了积分的本质：通过无限细分来获得精确结果。

核心公式

• \(["\)\Delta x = \frac{b-a}{n}\(", "\)R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \Delta x\(", "\)\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx\(", "\)|\text{Error}| = \left| \int_a^b f(x) \, dx - R_n \right|\(", "\)\text{Error} \approx O\left(\frac{1}{n}\right) \text{ 或 } O\left(\frac{1}{n^2}\right)\(（取决于黎曼和类型）"]\)

易错点

• ⚠️ ["误认为增加子区间数量会使黎曼和完全等于定积分值，而忽视了即使 \(n\) 很大时仍然存在的误差项。实际上黎曼和只是逼近，不是精确值", "混淆不同类型黎曼和的收敛速度：左端点和右端点黎曼和的误差为 \(O(1/n)\)，而梯形法则和中点法则的误差为 \(O(1/n^2)\)，导致对精度提升速度的错误估计", "在计算黎曼和时，没有正确理解 \(\Delta x\) 与 \(n\) 的反比关系，或在改变 \(n\) 时忘记重新计算 \(\Delta x\)，导致黎曼和的值出错", "误解题意，认为只要增加子区间数量就能得到精确答案，而没有意识到某些函数（如不连续函数）的黎曼和可能不收敛到定积分"]