3.5.5 Applications with Chain Rule

反三角函数与链式法则结合求复合函数导数，如 d/dx(arcsin(2x)) 等问题

定义

反三角函数与链式法则的结合应用是指在求复合函数导数时，外层函数为反三角函数（如 \(\arcsin(u)\)、\(\arccos(u)\)、\(\arctan(u)\) 等），内层函数为关于自变量 \(x\) 的函数 \(u(x)\)。根据链式法则，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。具体地，若 \(y = \arcsin(u(x))\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}\)。这类问题要求学生掌握反三角函数的基本导数公式，并能灵活运用链式法则处理各种复合情况。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[\arcsin(u)] = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[\arccos(u)] = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[\arctan(u)] = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[\text{arcsec}(u)] = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[\text{arccsc}(u)] = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}\)

易错点

• ⚠️ 忘记应用链式法则中的 \(\frac{du}{dx}\) 项，直接使用反三角函数的导数公式而不乘以内层函数的导数。例如，对 \(\arcsin(2x)\) 求导时，错误地得到 \(\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\) 而不是 \(\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\)
• ⚠️ 在处理 \(\arccos(u)\) 的导数时，遗漏负号。\(\arccos(u)\) 的导数前面有负号，与 \(\arcsin(u)\) 不同，学生容易混淆两者
• ⚠️ 在使用 \(\arctan(u)\) 的导数公式时，错误地写成 \(\frac{1}{1-u^2}\) 而非 \(\frac{1}{1+u^2}\)，分母中加号和减号的混淆是常见错误
• ⚠️ 对于 \(\text{arcsec}(u)\) 和 \(\text{arccsc}(u)\) 的导数，忽视绝对值符号 \(|u|\) 的重要性，或在应用链式法则时遗漏 \(\frac{du}{dx}\) 项