10.3.1 Integral Test (积分检验法)

利用相关函数的反常积分收敛性来判定正项级数的收敛性，适用于单调递减的正项级数

定义

积分检验法（Integral Test）是判定正项级数收敛性的一种重要方法。设 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 是一个正项级数，若存在一个在 \([1, +\infty)\) 上连续、正值、单调递减的函数 \(f(x)\)，使得 \(f(n) = a_n\)（\(n = 1, 2, 3, \ldots\)），则： - 当反常积分 \(\int_1^{\infty} f(x) \, dx\) 收敛时，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛； - 当反常积分 \(\int_1^{\infty} f(x) \, dx\) 发散时，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散。

积分检验法的核心思想是通过比较级数的部分和与相应函数的积分来判断级数的收敛性。这种方法特别适用于那些对应函数易于积分的级数。

核心公式

• \(["\)\text{若} \, f(x) \text{ 在 } [1, +\infty) \text{ 上连续、正值、单调递减，且 } f(n) = a_n, \text{ 则} \, \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 与 } \int_1^{\infty} f(x) \, dx \text{ 同时收敛或同时发散}\(", "\)\int_1^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_1^{t} f(x) \, dx\(", "\)a_n = \frac{1}{n^p} \text{ 时，级数 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 当 } p > 1 \text{ 时收敛，当 } p \leq 1 \text{ 时发散}\(", "\)\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx = \begin{cases} \frac{1}{p-1} & \text{当 } p > 1 \text{ 时收敛} \ +\infty & \text{当 } p \leq 1 \text{ 时发散} \end{cases}\(", "\)\text{若级数收敛，则必有 } \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \text{（必要条件，但不充分）}\("]\)

易错点

• ⚠️ 忽视函数单调递减的条件：学生常常在函数不单调递减的情况下直接应用积分检验法，导致结论错误。必须先验证 \(f'(x) < 0\) 或通过其他方式确认单调性。
• ⚠️ 混淆级数与积分的收敛性判断：有些学生在计算反常积分时出错，或者对积分的收敛/发散判断不准确，特别是在处理 \(p\)-积分 \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 时容易弄反 \(p\) 的临界值。
• ⚠️ 忽视函数的连续性和正值性：积分检验法要求函数在 \([1, +\infty)\) 上连续且为正值，学生有时未检查这些前提条件就直接应用。
• ⚠️ 错误地认为积分收敛就意味着级数的和等于积分值：积分检验法只判断收敛性，不能用来计算级数的和。级数的和与积分值一般不相等。