5.3.2 临界点（Critical Points）的识别

掌握临界点的定义和求法，即导数为零或不存在的点，这些点是函数可能取得极值的位置

定义

临界点（Critical Points）是指函数 \(f(x)\) 的定义域内，使得导数 \(f'(x) = 0\) 或导数 \(f'(x)\) 不存在的点。更准确地说，若 \(c\) 是函数 \(f(x)\) 的定义域内的一点，且满足 \(f'(c) = 0\) 或 \(f'(c)\) 不存在，则 \(c\) 称为 \(f(x)\) 的临界点。临界点是函数可能取得极值（极大值或极小值）的候选位置，但并非所有临界点都对应极值点。识别临界点是应用导数进行函数分析的第一步，为后续的单调性判断和极值判断奠定基础。

核心公式

• \(f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在}\)
• \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
• \(\text{若 } c \text{ 是临界点，则 } c \in \text{定义域}(f)\)
• \(\text{临界点集合} = \{x : f'(x) = 0\} \cup \{x : f'(x) \text{ 不存在}\}\)
• \(\text{极值点} \subseteq \text{临界点}\)（极值点必为临界点，但临界点不一定是极值点）

易错点

• ⚠️ 混淆临界点与极值点：学生常误认为所有临界点都是极值点，实际上临界点只是极值的候选点。例如，\(f(x) = x^3\) 在 \(x = 0\) 处有临界点（\(f'(0) = 0\)），但这不是极值点，而是拐点。
• ⚠️ 忽视导数不存在的点：学生在求临界点时，往往只关注 \(f'(x) = 0\) 的点，而忽略导数不存在的点。例如，\(f(x) = |x|\) 在 \(x = 0\) 处导数不存在，\(x = 0\) 是临界点且是极小值点。
• ⚠️ 在求导时出错导致遗漏临界点：计算导数时的代数错误会导致遗漏或错误识别临界点。学生应仔细验证求导过程，特别是在处理复合函数、乘积或商时。
• ⚠️ 忽视定义域限制：临界点必须在函数的定义域内。学生有时会找到使 \(f'(x) = 0\) 的点，但该点不在定义域内，因此不是临界点。例如，\(f(x) = \sqrt{x}\) 的导数在 \(x = 0\) 处不存在，但 \(x = 0\) 在定义域内，是临界点。