2.5.2 Derivatives of Tangent and Cotangent Functions

正切函数和余切函数的导数公式，通过商法则推导 (tan x)' = sec²x 和 (cot x)' = -csc²x

定义

正切函数和余切函数的导数是指对 \(\tan x\) 和 \(\cot x\) 进行微分得到的结果。通过商法则（quotient rule），可以推导出：正切函数 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) 的导数为 \(\sec^2 x\)，余切函数 \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) 的导数为 \(-\csc^2 x\)。这两个导数公式是三角函数微分的核心内容，在求解涉及正切和余切函数的复杂导数问题时经常使用。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)
• \(\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x\)
• \(\frac{d}{dx}(\tan u) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx}\)（链式法则）
• \(\frac{d}{dx}(\cot u) = -\csc^2 u \cdot \frac{du}{dx}\)（链式法则）
• \(\sec^2 x - \tan^2 x = 1\)（恒等式，推导中常用）

易错点

• ⚠️ 混淆正切和余切导数的符号：学生常错误地认为 \(\cot x\) 的导数是 \(\csc^2 x\)（正号），而忽视了负号。正确的是 \((\cot x)' = -\csc^2 x\)
• ⚠️ 在应用链式法则时遗漏外层导数：对于 \(\tan(3x)\) 这样的复合函数，学生可能只写出 \(\sec^2(3x)\)，而忘记乘以内层函数的导数 \(3\)，正确答案应为 \(3\sec^2(3x)\)
• ⚠️ 将 \(\sec^2 x\) 和 \(\csc^2 x\) 混淆：\(\sec x = \frac{1}{\cos x}\)，所以 \((\tan x)' = \sec^2 x\)；而 \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)，所以 \((\cot x)' = -\csc^2 x\)。学生有时会反向应用这些公式
• ⚠️ 在求导过程中错误地使用三角恒等式：例如，学生可能试图用 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) 来简化导数表达式，但这在大多数情况下不适用，应该直接使用 \(\sec^2 x\) 或 \(\csc^2 x\) 的形式