2.5.3 Derivatives of Secant and Cosecant Functions

正割函数和余割函数的导数公式，推导 (sec x)' = sec x tan x 和 (csc x)' = -csc x cot x

定义

正割函数和余割函数的导数是三角函数求导的重要内容。正割函数 \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\) 的导数为 \((\sec x)' = \sec x \tan x\)；余割函数 \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\) 的导数为 \((\csc x)' = -\csc x \cot x\)。这两个导数公式可以通过商法则（quotient rule）结合基本三角函数的导数推导得出。具体地，对于 \(\sec x\)，利用商法则：\((\sec x)' = \left(\frac{1}{\cos x}\right)' = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x\)。类似地，对于 \(\csc x\)，可得 \((\csc x)' = -\csc x \cot x\)。这些公式在求解涉及正割和余割函数的导数问题时至关重要。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)
• \(\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\)
• \(\frac{d}{dx}(\sec u) = \sec u \tan u \cdot \frac{du}{dx}\)（链式法则）
• \(\frac{d}{dx}(\csc u) = -\csc u \cot u \cdot \frac{du}{dx}\)（链式法则）
• \(\sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}\)

易错点

• ⚠️ ["混淆正割和余割导数的符号：学生常常记错 \(\csc x\) 的导数前面有负号，而 \(\sec x\) 的导数没有负号。容易将两个公式搞反。", "在应用链式法则时遗漏外层函数的导数：当求 \(\sec(3x)\) 或 \(\csc(x^2)\) 等复合函数的导数时，忘记乘以内层函数的导数 \(\frac{du}{dx}\)。", "错误地使用商法则的符号：在推导过程中，对分子求导时符号处理不当，导致最终结果的符号错误，特别是在 \(\csc x\) 的导数中。", "将 \(\sec x \tan x\) 和 \(\csc x \cot x\) 的含义混淆：不清楚这些表达式中 \(\tan x\) 和 \(\cot x\) 的具体含义，或在复杂表达式中无法正确识别这些三角函数的关系。"]