8.1.5 Area with Multiple Regions

处理曲线多次相交形成多个区域的情况，将总面积分解为若干子区域分别计算后求和

定义

多区域面积问题是指当两条或多条曲线在给定区间内多次相交，形成多个分离的区域时，需要分别计算每个区域的面积，然后求和得到总面积的问题。设曲线 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上有多个交点 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)（其中 \(a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b\)），这些交点将区间分割成若干个子区间。在每个子区间内，两条曲线的上下位置可能不同，因此需要分别确定被积函数，然后对各子区间分别积分，最后将所有子区间的面积相加得到总面积。

核心公式

• \(A = \int_a^{x_1} |f(x) - g(x)| \, dx + \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx + \cdots + \int_{x_n}^b |f(x) - g(x)| \, dx\)
• \(A = \sum_{i=0}^{n} \int_{x_i}^{x_{i+1}} |f(x) - g(x)| \, dx\)，其中 \(x_0 = a\)，\(x_{n+1} = b\)
• \(A = \sum_{i=0}^{n} \left| \int_{x_i}^{x_{i+1}} [f(x) - g(x)] \, dx \right|\)
• \(\text{交点满足：} f(x_i) = g(x_i)\)，即 \(f(x_i) - g(x_i) = 0\)
• \(A = \int_a^{x_1} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{x_1}^{x_2} [g(x) - f(x)] \, dx + \int_{x_2}^{x_3} [f(x) - g(x)] \, dx + \cdots\)

易错点

• ⚠️ 忘记在每个子区间内确定正确的上下函数关系。学生常常假设 \(f(x) > g(x)\) 在整个区间上成立，而实际上在不同的子区间内两条曲线的相对位置可能互换，导致计算出负的面积值。
• ⚠️ 在求交点时出错或遗漏交点。如果没有找到所有的交点，就无法正确划分区间，从而无法准确计算各子区域的面积。
• ⚠️ 直接对 \(f(x) - g(x)\) 在整个区间上积分而不使用绝对值。当被积函数在某些区间上为负时，这样做会导致某些区域的面积被相消，最终得到的不是总面积而是代数和。
• ⚠️ 在计算多个积分时出现符号错误或计算错误。特别是当需要计算多个子区间的积分时，容易在加法或减法过程中出现符号混淆。