1.3.3 Relationship Between One-Sided and Two-Sided Limits¶

理解双侧极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等

定义¶

双侧极限与单侧极限的关系是极限理论中的基本定理。设函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内有定义，则双侧极限 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 存在的充要条件是：左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ 和右极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 都存在且相等，即 $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$。换句话说，函数在某点的双侧极限存在当且仅当从左侧和右侧趋近该点时，函数值趋近于同一个数值。这个定理是判断极限是否存在的重要工具，特别是在处理分段函数、含有绝对值的函数或在某些特殊点处行为不同的函数时。

核心公式¶

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ 且 } \lim_{x \to a^+} f(x) = L$
$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ 表示当 $x$ 从左侧趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ 表示当 $x$ 从右侧趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$
$若 $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$，则 $\lim_{x \to a} f(x)$ 不存在$
$\lim_{x \to a} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ 且 } \lim_{x \to a^+} f(x) = L$（充分性）

易错点¶

⚠️ 混淆充要条件的方向：误认为只要左极限和右极限存在就意味着双侧极限存在，忽视了它们必须相等这一关键条件。实际上，如果 $\lim_{x \to a^-} f(x) = 2$ 而 $\lim_{x \to a^+} f(x) = 3$，则双侧极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 不存在
⚠️ 在计算单侧极限时方向错误：例如计算 $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ 时，应该从小于 2 的一侧趋近（如 $x = 1.9, 1.99, ...$），而不是从大于 2 的一侧趋近
⚠️ 忽视函数在该点的定义：双侧极限存在与函数在该点是否有定义无关，即使 $f(a)$ 不存在或 $f(a) \neq L$，极限 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 仍然可能存在
⚠️ 对分段函数在分界点处的极限判断不当：在分段函数的分界点处，必须分别从左右两侧计算极限，不能直接代入某一段的表达式