9.5.1 Vector-Valued Functions and Their Graphs

向量值函数的定义、分量函数表示以及空间曲线的图形表示方法

定义

向量值函数是一个将实数域映射到向量空间的函数。对于三维空间，向量值函数 \(\mathbf{r}(t)\) 可以表示为 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle\) 或 \(\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}\)，其中 \(f(t)\)、\(g(t)\)、\(h(t)\) 是关于参数 \(t\) 的实值函数，称为分量函数。向量值函数的定义域是所有使得三个分量函数都有定义的 \(t\) 值的集合。向量值函数的图形是空间中的一条曲线，称为空间曲线，其中曲线上的每一点对应参数 \(t\) 的一个值，该点的坐标为 \((f(t), g(t), h(t))\)。

核心公式

• \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}\)
• \(\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle = f'(t)\mathbf{i} + g'(t)\mathbf{j} + h'(t)\mathbf{k}\)
• \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\)
• \(\mathbf{r}''(t) = \langle f''(t), g''(t), h''(t) \rangle\)
• \(\int_a^b \mathbf{r}(t) \, dt = \left\langle \int_a^b f(t) \, dt, \int_a^b g(t) \, dt, \int_a^b h(t) \, dt \right\rangle\)

易错点

• ⚠️ 混淆向量值函数与参数方程：学生常误认为向量值函数就是参数方程，但向量值函数是一个向量，而参数方程是坐标的表示形式。向量值函数 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle\) 对应的参数方程是 \(x = f(t), y = g(t), z = h(t)\)。
• ⚠️ 求导时忽视向量的分量性质：在对向量值函数求导时，学生有时会错误地应用标量函数的求导规则，忘记对每个分量分别求导。正确的做法是 \(\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle\)，而不是将整个向量作为一个整体求导。
• ⚠️ 定义域确定错误：学生常常忽视向量值函数的定义域必须是所有分量函数定义域的交集。例如，若 \(f(t) = \sqrt{t}\)，\(g(t) = \ln(t)\)，\(h(t) = \frac{1}{t-1}\)，则定义域应为 \(t > 1\) 而非单独考虑某个分量。
• ⚠️ 速度向量与速率混淆：学生常混淆速度向量 \(\mathbf{r}'(t)\) 和速率 \(|\mathbf{r}'(t)|\)。速度向量是一个向量，具有方向和大小；速率是一个标量，只表示运动的快慢程度。