6.5.3 累积函数的凹凸性 (Concavity of Accumulation Functions)

通过被积函数的增减性判断累积函数的凹凸性和拐点位置

定义

累积函数的凹凸性是指通过分析被积函数的增减性来判断累积函数的二阶导数符号，从而确定累积函数的凹凸性质。

设累积函数为 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)，其中 \(f(t)\) 是被积函数。根据微积分基本定理，\(F'(x) = f(x)\)，\(F''(x) = f'(x)\)。

凹凸性判断规则： - 当 \(f'(x) > 0\)（即 \(f(x)\) 递增）时，\(F''(x) > 0\)，累积函数 \(F(x)\) 在该区间上凹（concave up） - 当 \(f'(x) < 0\)（即 \(f(x)\) 递减）时，\(F''(x) < 0\)，累积函数 \(F(x)\) 在该区间上凸（concave down） - 当 \(f'(x) = 0\)（即 \(f(x)\) 有极值）时，\(F''(x) = 0\)，累积函数 \(F(x)\) 可能存在拐点（inflection point）

拐点的确定： 拐点出现在 \(f'(x)\) 改变符号的位置，即 \(f(x)\) 的极值点处。此时累积函数从凹变凸或从凸变凹。

核心公式

• \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)
• \(F'(x) = f(x)\)
• \(F''(x) = f'(x)\)
• \(F''(x) > 0 \Rightarrow F(x) \text{ 凹（concave up）}\)
• \(F''(x) < 0 \Rightarrow F(x) \text{ 凸（concave down）}\)
• \(f'(x) = 0 \text{ 且 } f'(x) \text{ 改变符号} \Rightarrow F(x) \text{ 有拐点}\)

易错点

• ⚠️ 混淆被积函数 \(f(x)\) 的增减性与累积函数 \(F(x)\) 的凹凸性：学生常错误地认为 \(f(x)\) 递增时 \(F(x)\) 也递增（实际上应看 \(f(x)\) 的符号），或混淆 \(f(x)\) 的凹凸与 \(F(x)\) 的凹凸关系
• ⚠️ 在判断拐点时，仅看 \(F''(x) = 0\) 的点，而忽视了 \(F''(x)\) 必须改变符号这一必要条件，导致错误地认为所有 \(f'(x) = 0\) 的点都是拐点
• ⚠️ 错误地使用 \(f(x)\) 的极值点来判断 \(F(x)\) 的极值点：\(f(x)\) 的极值点是 \(F(x)\) 的拐点，而不是 \(F(x)\) 的极值点；\(F(x)\) 的极值点应该是 \(f(x) = 0\) 的点
• ⚠️ 在图像题中，给定 \(f(x)\) 的图像时，错误地直接观察 \(f(x)\) 的凹凸性而非其增减性来判断 \(F(x)\) 的凹凸性，导致结论相反