3.3.3 求解dy/dx

从隐函数求导后的方程中分离并求解dy/dx，将含有dy/dx的项移到一边进行代数化简

定义

隐函数求导后求解 \(\frac{dy}{dx}\) 是指在对隐函数方程两边同时对 \(x\) 求导后，通过代数运算将含有 \(\frac{dy}{dx}\) 的所有项集中到方程的一边，然后因式分解并求解出 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。这个过程涉及：(1) 对方程两边关于 \(x\) 求导，使用链式法则处理含有 \(y\) 的项；(2) 将所有含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项移到等号左边，其他项移到右边；(3) 提取 \(\frac{dy}{dx}\) 作为公因子；(4) 两边同时除以 \(\frac{dy}{dx}\) 的系数，得到最终的导数表达式。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[f(y)] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)（链式法则）
• \(\frac{d}{dx}[y^n] = ny^{n-1}\frac{dy}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[\sin(y)] = \cos(y)\frac{dy}{dx}\)
• \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\)（隐函数求导公式，其中 \(F(x,y)=0\)）
• \(\frac{dy}{dx} = \frac{\text{含有 } x \text{ 的项}}{\text{含有 } y \text{ 的项}}\)（分离后的一般形式）

易错点

• ⚠️ 忘记在对含有 \(y\) 的项求导时乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。例如，对 \(y^2\) 求导应得 \(2y\frac{dy}{dx}\)，而不是 \(2y\)
• ⚠️ 在移项时出现符号错误。学生常常在将含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项移到一边时，忘记改变符号或在化简时出现代数错误
• ⚠️ 提取 \(\frac{dy}{dx}\) 时遗漏某些项。在因式分解 \(\frac{dy}{dx}\) 时，必须确保所有含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项都被正确提取，否则最终答案会不完整
• ⚠️ 在最后一步除以系数时，将分子分母颠倒或只除以部分系数。必须确保分母是 \(\frac{dy}{dx}\) 的完整系数表达式