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7.4.3 数值计算过程

通过给定初值条件和步长，逐步计算函数值序列，构建数值解的表格

定义

欧拉方法（Euler's Method）是一种数值求解常微分方程初值问题的基本方法。给定微分方程 \(\frac{dy}{dx} = f(x, y)\) 和初值条件 \(y(x_0) = y_0\)，通过选定步长 \(h\)，利用泰勒级数的一阶近似，逐步计算函数值序列 \(\{(x_n, y_n)\}\)，其中 \(x_n = x_0 + nh\)，\(y_n\) 是 \(y(x_n)\) 的近似值。该方法的核心思想是用差分近似微分，即用割线斜率近似切线斜率，从而将微分方程的连续问题转化为离散的递推计算问题。

核心公式

  • \(["\)y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)\(", "\)x_{n+1} = x_n + h\(", "\)y(x_n) \approx y_n\(", "\)\text{局部截断误差} = O(h^2)\(", "\)\text{全局截断误差} = O(h)\("]\)

易错点

  • ⚠️ 混淆步长 \(h\) 的含义：将步长理解为函数值的增量而非自变量的增量，导致计算 \(x_n\) 时出错
  • ⚠️ 在递推计算中使用错误的函数值：使用 \(y_{n+1}\) 而非 \(y_n\) 来计算下一步，或在计算 \(f(x_n, y_n)\) 时代入了错误的坐标值
  • ⚠️ 忽视初值条件的正确应用：未能正确识别 \((x_0, y_0)\) 作为第一个数据点，导致表格的第一行计算错误
  • ⚠️ 精度与步长的关系理解不足：认为步长越大精度越高，或不理解步长减小如何影响计算工作量和误差累积