8.5.3 Arc Length for Parametric Curves

计算参数方程x=f(t), y=g(t)表示的曲线弧长L=∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt

定义

参数方程表示的曲线弧长是指由参数方程 \(x=f(t)\)，\(y=g(t)\)（其中 \(t \in [a,b]\)）表示的曲线从点 \((f(a), g(a))\) 到点 \((f(b), g(b))\) 的长度。当函数 \(f(t)\) 和 \(g(t)\) 在 \([a,b]\) 上连续可导，且 \(\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 \neq 0\) 时，曲线的弧长定义为沿曲线的微小线段长度的积分。每一小段的长度近似为 \(\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt\)，因此总弧长为这些微小线段的积分。

核心公式

• \(L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt\)
• \(L = \int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2} \, dt\)
• \(ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt\)（弧长微元）
• \(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)| \, dt\)（向量形式，其中 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t) \rangle\)）
• \(|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2}\)（速度向量的模）

易错点

• ⚠️ 忘记对参数 \(t\) 求导而直接对 \(x\) 或 \(y\) 求导，导致使用了错误的导数形式。正确做法是计算 \(\frac{dx}{dt}\) 和 \(\frac{dy}{dt}\)，而不是 \(\frac{dy}{dx}\)。
• ⚠️ 在计算 \(\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\) 时，错误地化简或展开表达式，特别是当导数包含三角函数或复杂代数式时，容易出现符号错误或遗漏项。
• ⚠️ 积分限设置错误。必须确保积分的上下限是参数 \(t\) 的范围 \([a,b]\)，而不是 \(x\) 或 \(y\) 的范围。如果题目给出的是 \(x\) 或 \(y\) 的范围，需要先转换为对应的 \(t\) 值。
• ⚠️ 在计算根号内的表达式时，忽视了完全平方的化简机会。例如，当 \(\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2\) 可以写成完全平方 \((at+b)^2\) 的形式时，应该先化简再积分，以避免复杂的积分计算。