1.5.2 Continuity on an Interval

函数在开区间、闭区间和半开半闭区间上连续的定义，包括端点处的单侧连续性

定义

函数在区间上的连续性是指函数在该区间内的每一点都满足连续条件。具体定义如下：

开区间上的连续性：函数 \(f\) 在开区间 \((a,b)\) 上连续，当且仅当 \(f\) 在 \((a,b)\) 内的每一点都连续。即对于任意 \(c \in (a,b)\)，都有 \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)。

闭区间上的连续性：函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，当且仅当： 1. \(f\) 在开区间 \((a,b)\) 上连续 2. \(f\) 在左端点 \(a\) 处右连续：\(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) 3. \(f\) 在右端点 \(b\) 处左连续：\(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\)

半开半闭区间上的连续性： - 在 \([a,b)\) 上连续：\(f\) 在 \((a,b)\) 上连续，且在 \(a\) 处右连续 - 在 \((a,b]\) 上连续：\(f\) 在 \((a,b)\) 上连续，且在 \(b\) 处左连续

单侧连续性： - 右连续：\(\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)\) - 左连续：\(\lim_{x \to c^-} f(x) = f(c)\)

核心公式

• \(f \text{ 在 } (a,b) \text{ 上连续} \Leftrightarrow \forall c \in (a,b), \lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)
• \(f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续} \Leftrightarrow f \text{ 在 } (a,b) \text{ 上连续，且} \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a), \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\)
• \(f \text{ 在 } c \text{ 处右连续} \Leftrightarrow \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)\)
• \(f \text{ 在 } c \text{ 处左连续} \Leftrightarrow \lim_{x \to c^-} f(x) = f(c)\)
• \(f \text{ 在 } c \text{ 处连续} \Leftrightarrow f \text{ 在 } c \text{ 处既左连续又右连续}\)

易错点

• ⚠️ 混淆开区间和闭区间的连续性定义：在闭区间上连续必须检查端点处的单侧连续性，而不是双侧极限存在。学生常常忽视对端点的检验。
• ⚠️ 错误地认为函数在闭区间 \([a,b]\) 上连续只需要在 \((a,b)\) 上连续：实际上还必须验证 \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) 和 \(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\)。
• ⚠️ 在判断分段函数的区间连续性时，遗漏对分段点处的单侧连续性检查，导致错误地声称函数在包含分段点的闭区间上连续。
• ⚠️ 混淆连续性和可导性：函数在闭区间上连续不意味着在端点处可导，端点处的导数需要单侧导数的存在性。