6.2.1 Left Riemann Sum（左端点黎曼和）

使用每个子区间左端点的函数值构造矩形来近似曲线下方面积的方法

定义

左端点黎曼和（Left Riemann Sum）是一种用矩形面积之和来近似曲线下方面积的方法。具体地，将积分区间 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)。在每个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上，以左端点 \(x_{i-1}\) 处的函数值 \(f(x_{i-1})\) 作为矩形的高，\(\Delta x\) 作为矩形的宽，构造矩形。所有矩形面积之和就是左端点黎曼和，它近似于定积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 的值。当分割数 \(n \to \infty\) 时，左端点黎曼和趋向于定积分的精确值。

核心公式

• \(["L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \cdot \Delta x", "L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x", "\Delta x = \frac{b-a}{n}", "x_i = a + i \cdot \Delta x, \quad i = 0, 1, 2, \ldots, n", "\lim_{n \to \infty} L_n = \int_a^b f(x) \, dx"]\)

易错点

• ⚠️ 混淆左端点和右端点：学生容易将左端点黎曼和与右端点黎曼和混淆，导致选择错误的端点计算函数值。左端点黎曼和使用 \(f(x_{i-1})\)（每个子区间的左端点），而右端点黎曼和使用 \(f(x_i)\)（每个子区间的右端点）。
• ⚠️ 索引错误：在求和式中，左端点黎曼和应该是 \(\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x\) 或 \(\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \cdot \Delta x\)，学生常常写成 \(\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x\)（这实际上是右端点黎曼和）。
• ⚠️ 遗漏 \(\Delta x\) 因子：学生有时只计算函数值的和，忘记乘以 \(\Delta x\)（矩形的宽度），导致结果数值相差 \(\Delta x\) 倍。
• ⚠️ 对于函数值为负的情况理解不足：当函数在某些区间为负时，左端点黎曼和会给出负的矩形面积，学生需要理解这代表 \(x\) 轴下方的面积，而不是简单地取绝对值。