3.1.3 Proof of Chain Rule

链式法则的严格数学证明，基于导数定义和极限运算

定义

链式法则是微积分中的基本定理，用于求复合函数的导数。设 \(u = g(x)\) 在 \(x\) 处可导，\(y = f(u)\) 在 \(u = g(x)\) 处可导，则复合函数 \(y = f(g(x))\) 在 \(x\) 处的导数为两个函数导数的乘积。严格证明基于导数的极限定义：对于复合函数 \(y = f(g(x))\)，当 \(\Delta x \to 0\) 时，通过引入中间变量 \(\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)\)，利用导数定义和极限的乘法法则，可以证明 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)。证明的关键在于处理 \(\Delta u \to 0\) 的情况，以及当 \(\Delta u = 0\) 时的特殊情形。

核心公式

• \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
• \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(u+\Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\)
• \(\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\)
• \(\lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(u+\Delta u) - f(u)}{\Delta u} = f'(u)\)（当 \(g'(x) \neq 0\) 时）

易错点

• ⚠️ 混淆求导顺序：学生常错误地计算为 \(g'(f(x)) \cdot f'(x)\) 而不是 \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\)，即忘记从外向内求导的正确顺序
• ⚠️ 忽视内层函数的导数：在应用链式法则时，只对外层函数求导而忘记乘以内层函数的导数，导致答案不完整
• ⚠️ 处理 \(\Delta u = 0\) 的情况不当：在证明过程中，当 \(\Delta u = 0\) 时直接除以 \(\Delta u\) 会导致错误，需要利用 \(g'(x)\) 的存在性来处理这种特殊情况
• ⚠️ 对多层复合函数应用不当：对于三层或更多层的复合函数，学生常常遗漏中间某一层的导数，或者链式法则的应用顺序错误