2.1.4 One-sided Derivatives

左导数和右导数的定义，以及它们与双侧导数存在性的关系

定义

单侧导数是指函数在某点处从左侧或右侧的导数值。

左导数（Left-hand Derivative）：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x=a\) 的左邻域内有定义，如果极限 \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 存在，则称此极限值为 \(f(x)\) 在点 \(a\) 处的左导数，记为 \(f'_-(a)\) 或 \(f'(a^-)\)。

右导数（Right-hand Derivative）：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x=a\) 的右邻域内有定义，如果极限 \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 存在，则称此极限值为 \(f(x)\) 在点 \(a\) 处的右导数，记为 \(f'_+(a)\) 或 \(f'(a^+)\)。

双侧导数与单侧导数的关系：函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 处可导（即双侧导数存在）当且仅当左导数和右导数都存在且相等，即 \(f'_-(a) = f'_+(a) = f'(a)\)。

核心公式

• \(f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
• \(f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
• \(f'(a) \text{ 存在} \Leftrightarrow f'_-(a) = f'_+(a)\)
• \(f'_-(a) = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
• \(f'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

易错点

• ⚠️ 混淆单侧导数的定义：错误地认为左导数是 \(\lim_{h \to 0^+}\) 而非 \(\lim_{h \to 0^-}\)，或在计算时使用了错误的极限方向。
• ⚠️ 忽视单侧导数存在但不相等的情况：当 \(f'_-(a) \neq f'_+(a)\) 时，函数在该点不可导，但学生有时会错误地认为只要单侧导数存在就意味着函数可导。
• ⚠️ 在分段函数的分界点处计算导数时，未能正确识别需要使用单侧导数：例如对于 \(f(x) = |x|\) 在 \(x=0\) 处，学生可能忘记检查左右导数是否相等。
• ⚠️ 计算单侧导数时符号错误：在处理 \(h \to 0^-\) 时，未能正确理解 \(h\) 为负数这一事实，导致在化简 \(f(a+h)\) 时出现符号错误。