2.6.5 Chain Rule with Exponential and Logarithmic Functions (复合指数对数函数求导)

运用链式法则对复合的指数函数和对数函数求导，如 e^(f(x)) 和 ln(f(x)) 的导数

定义

链式法则与指数对数函数的复合求导是指：当指数函数或对数函数的底数或真数本身是关于自变量的函数时，需要使用链式法则进行求导。

具体地，对于复合指数函数 \(y = e^{f(x)}\)，其导数为 \(\frac{dy}{dx} = e^{f(x)} \cdot f'(x)\)；对于复合对数函数 \(y = \ln(f(x))\)，其导数为 \(\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)}\)。

更一般地，对于 \(y = a^{f(x)}\)（其中 \(a > 0, a \neq 1\)），导数为 \(\frac{dy}{dx} = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x)\)；对于 \(y = \log_a(f(x))\)，导数为 \(\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln(a)}\)。

这些公式的核心思想是：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数，这正是链式法则的体现。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[e^{f(x)}] = e^{f(x)} \cdot f'(x)\)
• \(\frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}\)
• \(\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x)\)
• \(\frac{d}{dx}[\log_a(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln(a)}\)
• \(\frac{d}{dx}[f(x)^{g(x)}] = f(x)^{g(x)} \cdot \left[g'(x) \ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right]\)

易错点

• ⚠️ 忘记应用链式法则：学生常常直接写出 \(\frac{d}{dx}[e^{f(x)}] = e^{f(x)}\) 或 \(\frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{1}{f(x)}\)，遗漏了内层函数的导数 \(f'(x)\)
• ⚠️ 对数函数求导时分母错误：在求 \(\ln(f(x))\) 的导数时，错误地写成 \(\frac{1}{f'(x)}\) 而不是 \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)，混淆了分子分母的位置
• ⚠️ 处理不同底数的指数函数时遗漏对数因子：对 \(a^{f(x)}\) 求导时，忘记乘以 \(\ln(a)\)，特别是当 \(a \neq e\) 时容易出错
• ⚠️ 在求解幂函数 \(f(x)^{g(x)}\) 的导数时，只考虑指数部分或底数部分的变化，而忽视两者都是变量的事实，导致使用错误的求导公式