10.5.6 幂级数的逐项微分与积分 (Term-by-Term Differentiation and Integration)

幂级数在收敛区间内可以逐项求导和逐项积分，且收敛半径保持不变

定义

幂级数的逐项微分与积分是指：若幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n\) 在区间 \((c-R, c+R)\) 内收敛到函数 \(f(x)\)，其中 \(R\) 为收敛半径，则在该收敛区间内，\(f(x)\) 可以逐项求导和逐项积分。具体地，可以对级数的每一项分别求导或积分，得到的新级数仍在同一收敛区间内收敛，且其和分别等于 \(f'(x)\) 和 \(\int f(x)dx\)。这一性质说明幂级数在其收敛区间内表示的函数具有良好的光滑性，且逐项运算与求和运算可以交换顺序。

核心公式

• \(\text{若} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n = f(x), \quad x \in (c-R, c+R)\)
• \(f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_n(x-c)^{n-1}, \quad x \in (c-R, c+R)\)
• \(\int f(x)dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1} + C, \quad x \in (c-R, c+R)\)
• \(\text{逐项微分和积分后的级数收敛半径相同：} R_{\text{导数}} = R_{\text{原级数}} = R_{\text{积分}}\)
• \(\int_a^b f(x)dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_a^b (x-c)^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left[\frac{(x-c)^{n+1}}{n+1}\right]_a^b, \quad a,b \in (c-R, c+R)\)

易错点

• ⚠️ 误认为逐项微分或积分会改变收敛半径，实际上收敛半径保持不变，但端点的收敛性可能改变（需要单独检验）
• ⚠️ 在进行逐项微分时忘记调整求和指标，如将 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n\) 求导后错误地写成 \(\sum_{n=0}^{\infty} na_n(x-c)^{n-1}\) 而不是从 \(n=1\) 开始
• ⚠️ 混淆逐项积分的常数项，在计算不定积分时遗漏积分常数 \(C\)，或在定积分中错误地处理积分限
• ⚠️ 对于端点处的收敛性判断不当，忘记在逐项微分后级数可能在端点处发散，或在逐项积分后级数在端点处收敛的情况