9.6.5 Unit Tangent and Normal Vectors¶

计算单位切向量T(t)=v(t)/|v(t)|和单位主法向量N(t)=T'(t)/|T'(t)|，理解它们描述曲线的局部几何性质

定义¶

单位切向量和单位主法向量是描述空间曲线局部几何性质的两个重要向量。

单位切向量 $T(t)$：给定向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 表示的曲线，其速度向量为 $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$。单位切向量定义为： $$T(t) = \frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|} = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$$ 它表示曲线在参数 $t$ 处的运动方向，是一个单位向量（模长为 1）。

单位主法向量 $N(t)$：单位主法向量描述曲线弯曲的方向，定义为： $$N(t) = \frac{T'(t)}{|T'(t)|}$$ 其中 $T'(t)$ 是单位切向量对参数 $t$ 的导数。单位主法向量垂直于单位切向量，指向曲线的凹侧（曲率中心方向）。

这两个向量构成了曲线的 Frenet-Serret 标架的前两个基向量，用于研究曲线的曲率、挠率等几何性质。

核心公式¶

$T(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}$
$N(t) = \frac{T'(t)}{|T'(t)|}$
$|T(t)| = 1 \text{ (单位切向量的模长恒为 1)}$
$T(t) \cdot N(t) = 0 \text{ (单位切向量与单位主法向量正交)}$
$\kappa(t) = \frac{|T'(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3} \text{ (曲率公式)}$

易错点¶

⚠️ 混淆速度向量和单位切向量：速度向量 $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$ 的模长不一定为 1，而单位切向量必须通过除以速度向量的模长来获得
⚠️ 计算 $T'(t)$ 时出错：学生常常忘记对单位切向量求导，或在求导过程中应用商法则时出现符号错误
⚠️ 忽视 $N(t)$ 的正交性：单位主法向量必须垂直于单位切向量，如果计算结果不满足 $T(t) \cdot N(t) = 0$，说明有计算错误
⚠️ 在参数化曲线中混淆 $t$ 的几何意义：参数 $t$ 不一定是弧长参数，因此 $|\mathbf{r}'(t)| \neq 1$，这会影响曲率的计算