6.2.2 Right Riemann Sum（右端点黎曼和）

使用每个子区间右端点的函数值构造矩形来近似曲线下方面积的方法

定义

右端点黎曼和（Right Riemann Sum）是一种用矩形面积之和来近似曲线下方面积的方法。具体地，将积分区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)。对于每个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\)，取右端点 \(x_i\) 处的函数值 \(f(x_i)\) 作为该矩形的高，从而构造矩形。右端点黎曼和等于所有这些矩形面积的总和，用来近似定积分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) 的值。当 \(n \to \infty\) 时，右端点黎曼和趋向于定积分的精确值（对于连续函数）。

核心公式

• \(["R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x", "\Delta x = \frac{b-a}{n}", "x_i = a + i \cdot \Delta x \quad (i = 1, 2, \ldots, n)", "R_n = \sum_{i=1}^{n} f\left(a + i \cdot \frac{b-a}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n}", "\lim_{n \to \infty} R_n = \int_a^b f(x)\,dx"]\)

易错点

• ⚠️ ["混淆右端点和左端点：学生常常在计算时使用左端点 \(x_{i-1}\) 而不是右端点 \(x_i\)，导致得到左端点黎曼和而非右端点黎曼和", "索引错误：在求和中使用 \(i=0\) 到 \(n-1\) 而不是 \(i=1\) 到 \(n\)，或者在计算 \(x_i\) 时出现偏移，导致选择错误的端点", "忽视 \(\Delta x\) 的乘法：学生可能只计算函数值的和而忘记乘以 \(\Delta x\)，这会导致结果的量纲和数值都不正确", "对于递减函数的理解不足：当函数在区间上递减时，右端点黎曼和会低估曲线下的面积，学生有时会错误地认为右端点黎曼和总是高估或总是低估"]