9.5.2 Limits and Continuity of Vector Functions¶

向量函数的极限定义、计算方法以及连续性的判定条件

定义¶

向量函数的极限与连续性是向量微积分的基础概念。

向量函数的极限定义：设向量函数 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle\)，当 \(t\) 趋近于 \(a\) 时，如果存在向量 \(\mathbf{L} = \langle L_1, L_2, L_3 \rangle\)，使得对任意 \(\epsilon > 0\)，都存在 \(\delta > 0\)，当 \(0 < |t-a| < \delta\) 时，有 \(|\mathbf{r}(t) - \mathbf{L}| < \epsilon\)，则称 \(\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{L}\)。

等价定义：向量函数的极限存在当且仅当其各分量函数的极限都存在，即 \(\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} f(t), \lim_{t \to a} g(t), \lim_{t \to a} h(t) \rangle\)。

向量函数的连续性：向量函数 \(\mathbf{r}(t)\) 在 \(t = a\) 处连续，当且仅当：(1) \(\mathbf{r}(a)\) 存在；(2) \(\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t)\) 存在；(3) \(\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)\)。等价地，\(\mathbf{r}(t)\) 在 \(t = a\) 处连续当且仅当其所有分量函数都在 \(t = a\) 处连续。

向量函数的性质：如果 \(\mathbf{r}(t)\) 和 \(\mathbf{s}(t)\) 在 \(t = a\) 处连续，则 \(\mathbf{r}(t) + \mathbf{s}(t)\)、\(c\mathbf{r}(t)\)（\(c\) 为常数）、\(\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t)\)、\(\mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}(t)\) 也都在 \(t = a\) 处连续。

核心公式¶

\(\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{L} \Leftrightarrow \lim_{t \to a} |\mathbf{r}(t) - \mathbf{L}| = 0\)
\(\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} f(t), \lim_{t \to a} g(t), \lim_{t \to a} h(t) \rangle\)
\(\mathbf{r}(t) \text{ 在 } t=a \text{ 处连续} \Leftrightarrow \lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)\)
\(|\mathbf{r}(t)| = \sqrt{[f(t)]^2 + [g(t)]^2 + [h(t)]^2}\)
\(\lim_{t \to a} [\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t)] = [\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t)] \cdot [\lim_{t \to a} \mathbf{s}(t)]\)

易错点¶

⚠️ 混淆向量函数的极限与标量函数的极限：学生常错误地认为只需要计算向量的模的极限，而忽视了向量函数极限存在需要所有分量的极限都存在且有限的要求
⚠️ 在判断连续性时忽视分量函数的连续性：学生可能只检查某一个分量的连续性，而没有验证所有分量函数都连续，导致错误结论
⚠️ 错误处理向量函数在某点的极限值：当分量函数在某点无定义时，学生常忽视需要用极限值而非函数值来判断连续性的要求
⚠️ 混淆向量函数的极限与向量的大小的极限：即 \(\lim_{t \to a} |\mathbf{r}(t)| \neq |\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t)|\) 在某些情况下不成立，学生需要分别计算