7.5.2 Separation of Variables Technique¶

分离变量的基本技巧，将方程改写为 1/h(y) dy = g(x) dx 的形式

定义¶

分离变量法是求解可分离微分方程的基本技巧。对于形如 $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ 的微分方程，其中 $g(x)$ 仅依赖于 $x$，$h(y)$ 仅依赖于 $y$，我们可以通过分离变量将其改写为 $\frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$ 的形式（其中 $h(y) \neq 0$）。然后对两边分别积分，得到 $\int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx + C$，从而求得隐函数解或显函数解。这种方法的核心思想是将包含两个变量的微分方程转化为两个单变量的积分问题。

核心公式¶

$["$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$", "$\frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$", "$\int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx + C$", "$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 可分离当且仅当 $f(x,y) = g(x)h(y)$", "$y = y(x)$ 是解当且仅当 $\int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx + C$ 成立"]$

易错点¶

⚠️ 忘记检查 $h(y) = 0$ 的情况：当 $h(y) = 0$ 时无法直接分离变量，但 $y = y_0$（使 $h(y_0) = 0$ 的常数）可能是方程的奇异解，需要单独验证
⚠️ 分离变量后积分时遗漏常数 $C$：必须在等号一侧加上积分常数，且只需加一个常数即可（不要两边都加）
⚠️ 分离变量的方向错误：应该将含 $y$ 的项移到左边与 $dy$ 配对，含 $x$ 的项移到右边与 $dx$ 配对，即 $rac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$，而不是相反
⚠️ 求解后忘记化简或求出显函数：有时隐函数形式已经是答案，但题目要求显函数形式时需要进一步求解 $y = y(x)$