3.7.5 对数求导法的应用

识别适合使用对数求导的情形，如乘积、商、幂函数的复杂组合

定义

对数求导法是一种求导技巧，通过对函数两边取自然对数，然后利用对数的性质将乘积、商、幂等复杂运算转化为加减运算，最后再求导。这种方法特别适用于以下情形：(1) 底数和指数都含有变量的幂函数，如 \(y = f(x)^{g(x)}\)；(2) 多个函数的乘积或商，如 \(y = \frac{f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x)}{g_1(x) \cdot g_2(x)}\)；(3) 形如 \(y = [f(x)]^{g(x)}\) 的复杂函数。对数求导法的基本步骤是：先对等式两边取自然对数，利用对数运算法则展开，然后对两边关于 \(x\) 求导，最后解出 \(y'\)。

核心公式

• \(["\)\frac{d}{dx}[f(x)^{g(x)}] = f(x)^{g(x)} \left[ g'(x) \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right]\(", "\)\text{若} \, y = f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \cdots f_n(x), \text{则} \, \frac{y'}{y} = \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \frac{f_2'(x)}{f_2(x)} + \cdots + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)}\(", "\)\text{若} \, y = \frac{f_1(x) \cdot f_2(x)}{g_1(x) \cdot g_2(x)}, \text{则} \, \frac{y'}{y} = \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \frac{f_2'(x)}{f_2(x)} - \frac{g_1'(x)}{g_1(x)} - \frac{g_2'(x)}{g_2(x)}\(", "\)\ln(f(x)^{g(x)}) = g(x) \ln f(x)\(", "\)\frac{d}{dx}[\ln f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)}\("]\)

易错点

• ⚠️ ["忘记在求导后乘以 \(y\) 来得到 \(y'\)，即求出 \(\frac{y'}{y}\) 后没有乘以原函数 \(y\) 就直接给出答案", "对对数运算法则应用错误，特别是将 \(\ln(f \cdot g)\) 错误地处理为 \(\ln f \cdot \ln g\)，或将 \(\ln(f + g)\) 错误地展开为 \(\ln f + \ln g\)", "在处理 \(y = [f(x)]^{g(x)}\) 时，只考虑指数求导部分而忽略底数也含有 \(x\) 的事实，导致漏掉 \(g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\) 项", "对两边取对数后，对右侧求导时没有正确应用链式法则，特别是在处理 \(\frac{d}{dx}[g(x) \ln f(x)]\) 时忽略了乘积法则"]